Dreisatz-Formel: proportional und antiproportional erklärt

Herleitung der Formel für den proportionalen Dreisatz

Beim proportionalen Dreisatz gilt: Je größer der eine Wert, desto größer auch der andere, im gleichen Verhältnis. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das, dass der Quotient aus beiden Werten immer konstant bleibt. Wenn a und b das bekannte Verhältnis bilden (a entspricht b), dann gilt für jeden weiteren Wert c mit dem gesuchten Ergebnis x dieselbe Beziehung: b geteilt durch a ist gleich x geteilt durch c.

Stellt man diese Gleichung nach x um, erhält man die Formel x = (c mal b) geteilt durch a. In Worten: Man multipliziert den dritten bekannten Wert mit dem zweiten bekannten Wert und teilt das Ergebnis durch den ersten bekannten Wert. Genau diese Rechnung führt der Dreisatzrechner für Sie aus, sobald Sie den Modus "Proportional" auswählen.

Herleitung der Formel für den antiproportionalen Dreisatz

Beim antiproportionalen, auch umgekehrt proportionalen Dreisatz gilt das Gegenteil: Je größer der eine Wert, desto kleiner der andere. Hier bleibt nicht der Quotient, sondern das Produkt aus beiden Werten konstant. Wenn a und b das bekannte Verhältnis bilden, dann gilt für jeden weiteren Wert c mit dem gesuchten Ergebnis x: a mal b ist gleich c mal x.

Stellt man diese Gleichung nach x um, erhält man die Formel x = (a mal b) geteilt durch c. Der einzige Unterschied zur proportionalen Formel ist also, an welcher Stelle der dritte bekannte Wert c steht: im Zähler bei proportionalen Aufgaben, im Nenner bei antiproportionalen Aufgaben. Wer sich diese eine Regel merkt, kann beide Formeln jederzeit selbst herleiten, ohne sie auswendig zu lernen.

Beispiel 1: Rezept umrechnen (proportional)

Ein Kuchenrezept für 4 Personen benötigt 250 Gramm Mehl. Wie viel Mehl wird für 6 Personen benötigt? Bekanntes Verhältnis: 4 Personen entsprechen 250 Gramm. Rückrechnung auf 1: 1 Person entspricht 62,5 Gramm (250 geteilt durch 4). Hochrechnung: 6 Personen entsprechen 6 mal 62,5, also 375 Gramm Mehl.

Beispiel 2: Malerarbeiten (antiproportional)

2 Maler streichen eine Wohnung in 5 Stunden. Wie lange brauchen 5 Maler für dieselbe Wohnung, wenn alle gleich schnell arbeiten? Bekanntes Verhältnis: 2 Maler entsprechen 5 Stunden. Rückrechnung auf 1: 1 Maler würde 2 mal 5, also 10 Stunden brauchen. Hochrechnung: 5 Maler brauchen 10 geteilt durch 5, also 2 Stunden.

Beispiel 3: Geschwindigkeit und Fahrzeit (antiproportional)

Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 Kilometern pro Stunde dauert eine Fahrt 3 Stunden. Wie lange dauert dieselbe Strecke bei 100 Kilometern pro Stunde? Bekanntes Verhältnis: 80 entspricht 3. Rückrechnung auf 1: 1 Kilometer pro Stunde entspricht 240 Stunden (80 mal 3), das ist die gesamte Streckenlänge in Stunden-mal-Geschwindigkeit ausgedrückt. Hochrechnung: bei 100 Kilometern pro Stunde dauert die Fahrt 240 geteilt durch 100, also 2,4 Stunden, umgerechnet 2 Stunden und 24 Minuten. Eine höhere Geschwindigkeit verkürzt die Fahrzeit, deshalb ist dies antiproportional.

Beispiel 4: Materialbedarf auf der Baustelle (proportional)

Für 12 Quadratmeter Fliesenfläche werden 3 Kilogramm Fliesenkleber benötigt. Wie viel Kleber wird für 30 Quadratmeter benötigt? Bekanntes Verhältnis: 12 Quadratmeter entsprechen 3 Kilogramm. Rückrechnung auf 1: 1 Quadratmeter entspricht 0,25 Kilogramm (3 geteilt durch 12). Hochrechnung: 30 Quadratmeter entsprechen 30 mal 0,25, also 7,5 Kilogramm Kleber.

Beispiel 5: Prozentwert berechnen (proportional)

Ein Artikel kostet 120 Euro und wird um 15 Prozent reduziert. Wie viel Euro beträgt der Rabatt? Bekanntes Verhältnis: 100 Prozent entsprechen 120 Euro. Rückrechnung auf 1: 1 Prozent entspricht 1,20 Euro (120 geteilt durch 100). Hochrechnung: 15 Prozent entsprechen 15 mal 1,20, also 18 Euro Rabatt. Der neue Preis liegt damit bei 120 minus 18, also 102 Euro.

Vergleichstabelle: proportional vs. antiproportional

Die Tabelle fasst zusammen, worauf es bei der Entscheidung zwischen beiden Formeln ankommt: Bei proportionalen Aufgaben bleibt das Verhältnis (der Quotient) zwischen den beiden gekoppelten Größen immer gleich, bei antiproportionalen Aufgaben bleibt stattdessen ihr Produkt konstant. Wer sich unsicher ist, welcher Fall vorliegt, kann diese Eigenschaft mit zwei beliebigen passenden Zahlenpaaren aus der Aufgabe testen, bevor er rechnet.

Beispiel 6: Zusammengesetzter Dreisatz (zwei Schritte kombiniert)

Manche Aufgaben lassen sich nicht mit einem einzigen Dreisatz lösen, sondern erfordern zwei aufeinanderfolgende Schritte, auch zusammengesetzter Dreisatz genannt. Beispiel: 3 Maschinen produzieren in 4 Stunden 240 Teile. Wie viele Teile produzieren 5 Maschinen in 6 Stunden?

Erster Schritt (proportional, Maschinen zu Teilen bei gleicher Zeit): 3 Maschinen entsprechen 240 Teilen in 4 Stunden, also entspricht 1 Maschine 80 Teilen in 4 Stunden. 5 Maschinen entsprechen dann 5 mal 80, also 400 Teilen in 4 Stunden. Zweiter Schritt (proportional, Zeit zu Teilen bei gleicher Maschinenzahl): 4 Stunden entsprechen 400 Teilen, also entspricht 1 Stunde 100 Teilen. 6 Stunden entsprechen dann 6 mal 100, also 600 Teilen. Nutzen Sie den Dreisatzrechner zweimal hintereinander, um solche zusammengesetzten Aufgaben in zwei einfachen Schritten zu lösen.

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